Question

10．已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°，求证：BD=CE．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等即可，利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，就有DF=DC，∠ADF=∠BCD，就可以得出△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，就有CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．

解答 解：（1）∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠FAD=∠DBC}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．
（2）如图2，作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，

∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠DBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．