Question

矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求△DEF的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：先设AD=x．由△DEF为等腰直角三角形，可以得到一对边相等，一对角相等，再加上一对直角相等，那么△ADE和△BEF全等，就有AD=BE．那么利用边相等可得x+x+2=10，解之即得AD，根据勾股定理求得DE²，即可求得△DEF的面积．

解答：解：先设AD=x．
∵△DEF为等腰三角形．
∴DE=EF，∠FEB+∠DEA=90°．
又∵∠AED+∠ADE=90°．
∴∠FEB=∠EDA．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90°．
在△ADE和△BEF中

∠FEB=∠EDA ∠B=∠A=90° DE=EF

，
∴△ADE≌△BEF（AAS）．
∴AD=BE．
∴AD+CD=AD+AB=x+x+2=10．
解得x=4．
即AD=4．
在RT△ADE中，DE²=AD²+AE²=4²+2²=20，
∵S=

1

2

DE•EF=

1

2

DE²=

1

2

×20=10．
∴△DEF的面积为10．

点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质及矩形的性质等知识．