Question

如图，已知直线l：y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（-2，0），B（0，1）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；
（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再分PA=AB时点P在点A的左边和右边两种情况，PB=AB时，根据等腰三角形三线合一的性质写出点P的坐标，PA=PB时，利用∠PAB的余弦列式求出AP，再求出OP，然后写出点P的坐标即可；
（3）分点D在点B的右侧时，S_△ACD=S_△ABC+S_△BCD列方程求出点D的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解；点D在点B的左侧时，S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC列方程求出点D的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解．

解答：解：（1）∵y=kx+b经过点A（-2，0），B（0，1），
∴

-2k+b=0 b=1

，
解得

k= 1 2 b=1

，
所以，直线l的表达式为y=

1

2

x+1；

（2）由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

22+12

=

5

，
①PA=AB时，若点P在点A的左边，则OP=2+

5

，此时点P的坐标为（-2-

5

，0），
若点P在点A的右边，则OP=

5

-2，此时点P的坐标为（

5

-2，0），
②PB=AB时，由等腰三角形三线合一的性质得，OP=OA，
所以，点P的坐标为（2，0），
③PA=PB时，cos∠PAB=

5 2

AP

=

2

5

，
解得AP=

5

4

，
所以，OP=2-

5

4

=

3

4

，
所以，点P得到坐标为（-

3

4

，0），
综上所述，点P的坐标为（-2-

5

，0）或（

5

-2，0）或（2，0）或（-

3

4

，0）；

（3）∵B（0，1），C（0，3），
∴BC=3-1=2，
点D在点B的右侧时，S_△ACD=S_△ABC+S_△BCD，
=

1

2

×2×（2+x_D）=4，
解得x_D=2，
此时y=

1

2

×2+1=2，
点D的坐标为（2，2），
点D在点B的左侧时，S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC，
=

1

2

×2×（-x_D-2）=4，
解得x_D=-6，
此时，y=-6×

1

2

+1=-2，
点D的坐标为（-6，-2），
综上所述，点D的坐标为（2，2）或（-6，-2）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形的面积，难点在于（2）（3）分情况讨论．