Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D
（1）把Rt△DBC绕点D顺时针旋转45°，点C的对称点为E，点B的对称点为F，请画出△EDF，连接AE，BE，并求∠AEB的度数．
（2）如图2，把Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度（0＜α＜90°），点C的对称点为E，点B的对称点为F，连接CE，则线段AE，BE与CE之间有何确定的数量关系？写出关系式并加以证明．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）根据旋转的定义画图，如图1，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD=CD，再根据等腰三角形的性质得∠DEA=∠DAE，∠DEB=∠DBE，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DEA+∠DEB=90°，即∠AEB的度数为90°；
（2）作CM⊥CE交AE于M，如图2，根据旋转的性质得∠CDE=α°，DE=DC=DA，利用互余得∠BDE=90-α，根据三角形内角和定理得∠DEC=90°-

1

2

α，则根据三角形外角性质可计算出∠DEA=

1

2

∠BDE=45°-

1

2

α，所以∠AEC=∠DEC-∠DEA=45°，由此可判断△CEM为等腰直角三角形，得到CE=CM，EM=

2

EC，然后根据旋转的定义，把△CAM绕点C逆时针旋转90°可得到△CBE，则AM=BE，所以AE=AM+EM=BE+

2

CE．

解答：解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD=CD，
∴∠DEA=∠DAE，∠DEB=∠DBE，
∴∠DEA+∠DEB=

1

2

（∠DEA+∠DAE+∠DEB+∠DBE）=

1

2

×180°=90°，
即∠AEB的度数为90°；
（2）线段AE，BE与CE之间的数量关系为AE=BE+

2

CE．理由如下：
作CM⊥CE交AE于M，如图2，
∵Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度（0＜α＜90°），点C的对称点为E，点B的对称点为F，
∴∠CDE=α°，DE=DC=DA，
∴∠BDE=90-α，∠DEC=

1

2

（180°-∠EDC）=90°-

1

2

α，
而∠BDE=∠DEA+∠DAE，
∴∠DEA=

1

2

∠BDE=45°-

1

2

α
∴∠AEC=∠DEC-∠DEA=90°-

1

2

α-（45°-

1

2

α）=45°，
∵CM⊥EC，
∴∠ECM=90°，
∴△CEM为等腰直角三角形，
∴CE=CM，EM=

2

EC，
∵∠ACB=∠MCE=90°，CA=CB，CM=CE，
∴△CAM绕点C逆时针旋转90°可得到△CBE，
∴AM=BE，
∴AE=AM+EM=BE+

2

CE．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质．