Question

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=36°，∠B=54°，点M、N分别是AD、BC的中点，如果BC=10，AD=4，那么MN的长是3．

Answer 1

分析 首先过点M作ME∥AB，交BC于点E，过点M作MF∥CD，交BC于点F，易证得四边形ABEM与四边形DCFM是平行四边形，△EMF是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得MN的长．

解答 解：过点M作ME∥AB，交BC于点E，过点M作MF∥CD，交BC于点F，

∵AD∥BC，
∴四边形ABEM与四边形DCFM是平行四边形，
∴BE=AM，CF=DM，ME=AB，MF=DC，
∴EF=BC-BE-CF=BC-AM-DM=BC-AD=10-4=6，
∵AB=DC，
∴ME=MF，
∵∠C=36°，∠B=54°，
∴∠MEF=∠C=36°，∠MFE=∠B=54°，
∴∠EMF=90°，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴EN=FN=MN，
∴MN=$\frac{1}{2}$EF=3．
故答案为：3．

点评 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．