Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AC=6，tanB=

3

4

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可；
（2）在Rt△ABC中，由“tanB=

3

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，AC=6”求得BC=8，AB=10；然后在Rt△ODB中，利用∠B的正切值求得

OD

BD

；设OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x．列出关于x的方程，解方程即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=

3

4

，AC=6，
∴BC=8，AB=10，
在Rt△ODB中，tanB=

OD

BD

，
设OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=10，
解得：x=

5

4

，
故半径OA=

15

4

．

点评：本题考查了圆的切线性质与判定以及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．