Question

19．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向形外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF、CF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（3）直接写出图中所有等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可证得△ACB≌△EFB，从而得到AC=EF；
（2）由上题结论结合等边△ACD可证得AD=EF，再利用角度证出AD∥EF就可以证出四边形ADFE是平行四边形；
（3）结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，再结合等边三角形就可以得出所有的等腰三角形．

解答 解：（1）∵∠BAC=30° EF⊥AB
∴AB=2BC∠ABC=60°
∵等边△ABE
∴AB=BE∠FBE=60°
∵EF⊥AB
∴BE=2BF
∴BC=BF
在△ACB与△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ABC=∠EBF}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△EFB（SAS）
∴AC=EF
（2）∵等边△ACD
∴∠DAP=60°AD=AC
∴∠DAF=90°AD=EF
∵EF⊥AB
∴AD∥EF
∴四边形ADFE是平行四边形
（3）由（1）可知F为AB中点
∵AC⊥BC
∴AF=FC=FB
∴图中所有的等腰三角形为△ACD、△ABE、△ACF、△FCB

点评 本题考查平行四边形、直角三角形及等腰三角形性质，解题的关键是要灵活运用直角三角形30°所对的边等于斜边的一半，找出边之间的等量关系．