Question

2．求使方程x²-pqx+p+q=0有整数根的所有正整数p和q．

Answer 1

分析 设方程x²-pqx+p+q=0的整数根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=pq，x₁x₂=p+q，推出x₁，x₂同号，x₁，x₂都大于0，于是得到p+q+1≥pq （p-1）（q-1）≤2，得到方程p-1=1 q-1=2 或p-1=1 q-1=1于是得到结论．

解答 解：设方程x²-pqx+p+q=0的整数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=pq，x₁x₂=p+q，
∴x₁，x₂同号，x₁，x₂都大于0，而两个正整数的乘积+1≥两个正整数的和，
∴p+q+1≥pq，（p-1）（q-1）≤2，
∴p-1=1，q-1=2 或p-1=1，q-1=1，
∴p=2，q=3或 p=2，q=2或p=3，q=2．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立；