Question

7．尺规作图：已知△ABC，如图．
（1）求作：△ABC的内切圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C=90°，CA=3，CB=4，则△ABC的内切圆⊙O的半径为1．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过点O作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD为半径作⊙O即可；
（2）先利用勾股定理计算出AB=5，作OF⊥AC于F，OE⊥AB于E，如图，设⊙O的半径为r，根据三角形内心的性质和切线长定理得到OD=OE=OF=r，BD=BE，AE=AF，则四边形ODCF为正方形，则CD=CF=r，BD=BE=4-r，AF=AE=3-r，所以4-r+3-r=5，然后解方程即可．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）作OF⊥AC于F，OE⊥AB于E，如图，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=r，BD=BE，AE=AF，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD=CF=r，BD=BE=4-r，AF=AE=3-r，
而BE+AE=AB，
∴4-r+3-r=5，解得r=1，
即⊙O的半径为1．
故答案为1．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．页考查了圆的内切圆的性质．