Question

14．已知a，b为正整数，于x的方程x²-2ax+b=0的两个实数根为x₁，x₂，关于y的方程y²+2ay+b=0的两个实数根为y₁，y₂，求x₁y₁-x₂y₂的最小值．

Answer 1

分析 公式法分别表示两方程的解为a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$、-a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$，令t=$\sqrt{{a}^{2}-b}$后分以下4种情况：①x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a+t，y₂=-a-t；②x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a+t；③x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a-t；④x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a-t，y₂=-a+t；分别表示出x₁y₁-x₂y₂，求出相应最小值，综合可得．

解答 解：关于x方程x²-2ax+b=0的两个实数根为$\frac{2a±\sqrt{4{a}^{2}-4b}}{2}$=a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$，
关于y的方程y²+2ay+b=0的两个实数根为$\frac{-2a±\sqrt{4{a}^{2}-4b}}{2}$=-a±$\sqrt{{a}^{2}-b}$，
设t=$\sqrt{{a}^{2}-b}$，
①当x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a+t，y₂=-a-t时，
x₁y₁-x₂y₂=0；
②当x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a+t时，
x₁y₁-x₂y₂=0；
③当x₁=a-t，x₂=a+t，y₁=-a-t，y₂=-a-t时，
x₁y₁-x₂y₂=4at，
∵方程有实数根，
∴t≥0，
∴x₁y₁-x₂y₂=4at≥0，此时其最小值为0；
④当x₁=a+t，x₂=a-t，y₁=-a-t，y₂=-a+t时，
x₁y₁-x₂y₂=-4at，
∵t≥0，
∴x₁y₁-x₂y₂=-4at≤0，即x₁y₁-x₂y₂无最小值，
综上，x₁y₁-x₂y₂的最小值为0．

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，表示出各方程的根并通过换元简化各根式，分类讨论求x₁y₁-x₂y₂的最值是关键．