Question

15．如图，已知菱形OABC的一边OA在x轴上，OA∥BC，OC∥AB，且OA=AB=BC=CO，将菱形OABC变换到菱形OA′B′C′的位置，若OB=OB′=2$\sqrt{3}$，∠C=120°，∠BOB′=75°，则点B′的坐标为（　　）

• A． （3，$\sqrt{3}$）
• B． （3，-$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）
• D． （$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．

解答 解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，

∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2$\sqrt{3}$，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′•cos45°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{6}$，
∴B′F=$\sqrt{6}$，
∴点B′的坐标为：（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）．
故选：D．

点评 此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．