Question

17．已知a+b=1，ab=1，设s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ．
（1）计算s₁=1；s₂=3；s₃=4；s₄=7；
（2）试写出s_n-2，s_n-1，s_n三者之间的关系式S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）根据以上得出的结论，计算a¹⁰+b¹⁰．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）根据（2）的结论，即可推出a¹⁰+b¹⁰=S₁₀=13S₄+8S₃．

解答 解：（1）∵s₁=a+b=1，S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；
∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4，
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7，
故答案为：1，3，4，7；

（2）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n，
故答案为：S_n-2+S_n-1=S_n；

（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴a¹⁰+b¹⁰=S₁₀=13S₄+8S₃=123．

点评 本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析归纳出规律：S_n-2+S_n-1=S_n．