Question

7．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a+c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（　　）

• A． ①②
• B． ①④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据二次函数的图象的开口向上可得a＞0，根据图象y轴的交点在y轴的交点可得c＜0，根据对称轴是直线x=1可得b＜0，进而可得①正确，再根据函数图象可得x＞2时，y有小于0的情况，故②错误，再计算出当x=1时，a-b+c＞0，再结合对称轴可得2a+b=0，进而可得3a+c＞0；再由2a+b=0，a＞0可得3a+b＞0．

解答 解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，b＜0，
∴abc＞0，∴①正确；
∵二次函数y=ax²+bx+c图象可知，当x＞2时，y有小于0的情况，
∴②错误；
∵当x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
把b=-2a代入得：3a+c＞0，
∴③正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，
∵a＞0，
∴3a+b＞0，故④正确．
故选C．

点评 此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，关键是数熟练掌握二次函数的性质．