Question

9．如图，已知抛物线y=x²-2（m+1）x+m²+1与x轴的相交于A，B两点，与y轴交于C（0，5）点，O为原点．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标．
（2）点P，Q分别从A，O两点同时以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移动，用t（秒）表示移动时间，连结PQ交BC于M点，问是否存在t值，使以O，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求所有的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求二次函数解析式．并令抛物线的解析式中y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标即可．
（2）存在．分①当∠OQP=∠OCB时，△OCB∽△OQP，②当∠OCB=∠OPQ时，△COB∽△POQ两种情况讨论．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2（m+1）x+m²+1与y轴交于C（0，5）点，
∴5=m²+1．m=±2
当m=2时，抛物线y=x²-6x+5；
+m²+1当m=-2时，抛物线y=x²+2x+5，此时抛物线与x轴无交点，故不符合题意，舍去．
令x²-6x+5=0，（x-1）（x-5）=0，∴x₁=1，x₂=5
∴A（1，0），B（5，0）
即：抛物线的解析式为：y=x²-6x+5；A，B两点的坐标分别为：A（1，0），B（5，0）．
（2）存在．如下图所示：
①当∠OQP=∠OCB时，△OCB∽△OQP，
∴$\frac{OC}{OQ}=\frac{OB}{OP}$，$\frac{5}{t}=\frac{1}{5-t}$，解之得：t=$\frac{25}{6}$（秒）
②当∠OCB=∠OPQ时，△COB∽△POQ，
∴$\frac{CO}{OP}=\frac{OB}{OQ}$，$\frac{5}{5-t}=\frac{1}{t}$，解之得：t=$\frac{5}{6}$$\frac{25}{6}$
即：当t等于$\frac{5}{6}$秒或$\frac{25}{6}$秒时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点等问题，解题的关键是熟练掌握所涉及的知识点，分类讨论是解题的难点所在．