Question

8．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为$\frac{1}{n}$（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$…，那么第7行第3个数字是$\frac{1}{105}$．

Answer 1

分析 根据每个数是它下一行相邻两数的和，求出第5、6、7三行的第二个数，继而可得第7行的第3个数．

解答 解：设第n行第m个数为a（n，m），
由题意知a（6，1）=$\frac{1}{6}$，a（7，1）=$\frac{1}{7}$，
∴a（7，2）=a（6，1）-a（7，1）=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{42}$，
a（6，2）=a（5，1）-a（6，1）=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{30}$，
a（7，3）=a（6，2）-a（7，2）=$\frac{1}{30}$-$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{105}$，
故答案为：$\frac{1}{105}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．