Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长斜边AB到点D，使BD=$\frac{AB}{2}$，连结DC．若tan∠ABC=2，则tan∠BCD的值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作BE⊥BC交CD于点E，由BD=$\frac{AB}{2}$设BD=x，则AB=2x，由tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=2设AC=2a，则BC=a，根据勾股定理可得a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，即AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，再证∴△DEB∽△DCA得$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BE}{\frac{4\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{x}{2x+x}$，从而得出BE=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$x，最后根据正切函数定义可得答案．

解答 解：如图，作BE⊥BC，交CD于点E，

∵BD=$\frac{AB}{2}$，
∴设BD=x，则AB=2x，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴设AC=2a，则BC=a，
∵AC²+BC²=AB²，即4a²+a²=4x²，
解得：a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x或a=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x（舍），
则AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵AC⊥CB，
∴AC∥BE，
∴△DEB∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BE}{\frac{4\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{x}{2x+x}$，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$x，
∴tan∠BCD=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{15}x}{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，根据题目需要建立合适的直角三角形并表示出所需线段的长度是解题的关键．