Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，O是AB的中点，点D在BA的延长线上，以D为直角顶点作RT△DEF，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：连接CO，则CO为AB边长的中线，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=OB，再由CA=CB，得到∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，进而得到∠2=∠B，得到四边形DMCN为矩形，得到DN=MC，MC=NB，且夹角相等，利用SAS得到三角形MOC与三角形NOB全等，利用全等三角形的对应边相等得到OM=ON，∠MOC=∠NOB，利用等式的性质得到OM⊥ON．

解答：解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线，
∵∠ACB=90°，
∴OC=

1

2

AB=OB，
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠2=∠B，
∵BN⊥DE，
∴∠BND=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴DN=NB，
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°，
又∵BN⊥DE，
∴∠DNC=90°
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∴MC=NB，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．