Question

8．如图，△ABC中，D是AB中点，P为BC延长线上一点，且∠CAP=∠B，DP与AC交于E点，求证：$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{AE}{EC}$．

Answer 1

分析 过C作CF∥AB交PD于F，如图，先证明△PAC∽△PBA得到PA²=PC•PB，再证明△ADE∽△CHE得到$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AD}{CH}$，证明△PBD∽△PCH得到$\frac{BD}{CH}$=$\frac{PB}{PC}$，利用AD=BD得到$\frac{AE}{EC}$=$\frac{PB}{PC}$，从而有$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{AE}{EC}$．

解答 证明：过C作CF∥AB交PD于F，如图，
∵∠CAP=∠B，∠APC=∠BPA，
∴△PAC∽△PBA，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PC}{PA}$，即PA²=PC•PB，
∴$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{PC•PB}{P{C}^{2}}$=$\frac{PB}{PC}$，
∵CH∥AD，
∴△ADE∽△CHE，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AD}{CH}$，
∵CH∥BD，
∴△PBD∽△PCH，
∴$\frac{BD}{CH}$=$\frac{PB}{PC}$，
而AD=BD，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{AE}{EC}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；再利用相似三角形的性质时，主要得到相似比和对应角相等．解决本题的关键是过C作CF∥AB交PD于F，从而构建相似三角形．