Question

如图，C为线段BD上一点，以BC、CD分别为腰作等腰三角形ABC、CDE，如图一，且AC=BC=a，CD=CE=b（b＞a）

（1）当∠ACB=∠DCE=60°时，易知AD=BE，如果此时将△ACB绕点C按顺时针方向旋转a°（0＜a＜60），如图二，那么AD=BE仍成立吗？为什么？
（2）当∠DCE=45°时，如果△ACB由图一绕点C按顺时针方向旋转a°（0＜a＜60°）得图三，仍有AD=BE成立，那么∠ACB为多少度？为什么？
（3）△ACB绕点C按顺时针方向旋转过程中，请你猜想：何时，线段AD的长度最大、最小值？其最大、最小值是多少？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠BCE=∠ACD，即可证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）易证△ACD≌△BCE，即可证明∠BCE=∠ACD，即可求得∠ACB=∠DCE，即可解题；
（3）根据旋转的性质即可求得AD的最大值和最小值情况，即可解题．

解答：证明：（1）成立，
∵△ABC和△CDE为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=60°，
∴△ABC和△CDE为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△ACD≌△BCE，（SAS）
∴AD=BE；
（2）在△ACD和△BCE中，

BC=AC AD=BE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BCE=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE=45°；
（3）B、C、D在一条直线上，
当C在B、D之间时，AD长度有最大值，为b+a；
当B在C、D之间时，AD长度有最小值，为b-a．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．