Question

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．
（1）求证：AC²=AF•AD；
（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△ACD∽△AFC，得到

AC

AF

=

AD

AC

，即可解决问题．
（2）证明A、E、F、C四点共圆，得到∠AFE=∠ACE，这是解决该问题的关键性结论；证明∠AFE=∠B，结合∠FAE=∠BAD，得到△AEF∽△ADB，列出比例式即可解决问题．

解答： 解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，
∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，
∴△ACD∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AD

AC

，
∴AC²=AF•AD．
（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，
∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；
∵∠FAE=∠BAD，
∴△AEF∽△ADB，
∴AE：AD=BD：EF，
∴AE•DB=AD•EF．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．