题目内容
如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上， |
| BC |
|
| CD |
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的长．
考点：切线的判定
专题：
分析：（1）连接OC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE=90°；
（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．
（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．
解答：
解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵
=
∴DC=BC，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E=90°
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴
=
=
，
=
∵BC=3，AC=4，
∴AB=5，CD=3，
∴
=
，
=
，
=
∴CE=
，ED=
，AE=
，
∴AD=AE-ED=
．
解：（1）连接OC，∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵
|
| BC |
|
| CD |
∴DC=BC，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E=90°
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴
| CE |
| AC |
| CD |
| AB |
| ED |
| BC |
| AE |
| AC |
| AC |
| AB |
∵BC=3，AC=4，
∴AB=5，CD=3，
∴
| CE |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| ED |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| AE |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
∴CE=
| 12 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴AD=AE-ED=
| 7 |
| 5 |
点评：考查了切线的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性质，都是基础知识要熟练掌握．
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