Question

3．已知实数m、n满足m²+m-2009=0，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{n}$-2009=0（mn≠-1），则$\frac{1}{m}$-n=$\frac{1}{2009}$．

Answer 1

分析 由实数m、n满足m²+m-2009=0，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{n}$-2009=0（mn≠-1），把m，-$\frac{1}{n}$看作方程x²+x-2009=0的两根，进一步利用根与系数的关系和根的意义变形求得答案即可．

解答 解：∵m²+m-2009=0，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{n}$-2009=0（mn≠-1），
∴m，-$\frac{1}{n}$是方程x²+x-2009=0的两根，并且m、-$\frac{1}{n}$不相等，
∴m-$\frac{1}{n}$=-1，$\frac{m}{n}$=2009，
代入$\frac{1}{m}$-n=$\frac{1}{m}$-$\frac{m}{2009}$=$\frac{2009-{m}^{2}}{2009m}$=$\frac{m}{2009m}$=$\frac{1}{2009}$．
故答案为：$\frac{1}{2009}$．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．