Question

15．如图1，在△ABC中，AC=AB，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点E作⊙O的切线ED交AC于点D．
（1）DE与AC有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）如图2，当AB=10cm，BC=12cm时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据切线的性质定理得到OE⊥DE，根据等腰三角形的性质得到∠OEB=∠C，得到OE∥AC，证明结论；
（2）连接AE，作BG⊥AC于G，证明DE是△CGB的中位线，根据三角形的面积公式求出BG，计算即可．

解答 解：（1）DE⊥AC．
连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
∴∠OEB=∠C，
∴OE∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）连接AE，作BG⊥AC于G，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，又AC=AB，
∴BE=EC=6，
∵BG⊥AC，DE⊥AC，
∴BG∥DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BG，
由勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
BC×AE=AC×BG，
解得，BG=$\frac{48}{5}$，
则DE=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查的是切线的性质定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．