Question

15．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到抛物线的顶点坐标和抛物线过点（0，0），从而可以求的抛物线的解析式；
（2）根据题意可以用含x的式子表示出AB、AD、DC的长度之和，从而可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得抛物线的顶点坐标为（6，6）且经过原点O（0，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-6）²+6，
则0=a（0-6）²+6，解得a=$-\frac{1}{6}$，
即这条抛物线的函数解析式为y=-$\frac{1}{6}（x-6）^{2}+6$（0≤x≤12）；
（2）设点A的坐标为（x，$-\frac{1}{6}（x-6）^{2}+6$），则点B的坐标为（x，0），点D的坐标为（12-x，$-\frac{1}{6}（x-6）^{2}+6$），点C的坐标为（12-x，0），
∴AB+AD+DC
=$-\frac{1}{6}（x-6）^{2}+6$+[（12-x）-x]+$-\frac{1}{6}（x-6）^{2}+6$
=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x+12$
=$-\frac{1}{3}（x-3）^{2}$+15，
∴当x=3时，AB+AD+DC的和取得最大值，此时AB+AD+DC的最大值是15，
即当点A在（3，4.5），点B在（3，0），点D（9，4.5），点C（9，0）时“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和最大，最大值是15．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．