Question

12．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于O，AE⊥BD，CF⊥BD，BM⊥AC，DN⊥AC，E、F、M、N是垂足，连接EN、NF、FM、ME，求证：四边形MENF是平行四边形．

Answer 1

分析 证明ABM≌△CDN证得AM=CN，可以证得OM=ON，同法证得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAM=∠DCN，
又∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
∴△ABM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DCN}\\{AB=CD}\\{∠AMB=∠DNC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDN，
∴AM=CN，
又∵OA=OC，
∴OM=ON，
同理OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定，关键是掌握平行四边形对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．