如图.已知直线y=-3x+3与x轴交于点A.与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C.对称轴为直线l:x=-1.该抛物线与x轴的另一个交点为B．(1)求此抛物线的解析式,(2)点P在直线l上.求出使△PAC的周长最小的点P的坐标,(3)点M在此抛物线上.点N在y轴上.以A.B.M.N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能.直接写出所有满足要求的点M的坐标,若不能.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式；
（2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．

解答：解：（1）直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，
则A点坐标为（1，0）；
当x=0时，y=3，

则C点坐标为（0，3）；
抛物线的对称轴为直线x=-1，
则B点坐标为（-3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，
解得a=-1，
则此抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；

（2）点A关于直线l的对称点是点B（-3，0）
如图1，连接BC，交对称轴于点P，则此时△PAC周长最小，
设直线BC的关系式为：y=mx+n，
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得

-3m+n=0

n=3

，
解得

m=1

n=3

，
∴直线bC的关系式为y=x+3，

当x=-1时，y=-1+3=2，
∴P点坐标为（-1，2）；

（3）①当以AB为对角线，如图2，
∵四边形AMBN为平行四边形，
A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为-3，
∴M点横坐标为-2，
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3，
∴M点坐标为（-2，3）；

②当以AB为边时，如图3，
∵四边形ABMN为平行四边形，
∴MN=AB=4，即M₁N₁=4，M₂N₂=4，
∴M₁的横坐标为-4，M₂的横坐标为4，
对于y=-x²-2x+3，
当x=-4时，y=-16+8+3=-5；
当x=4时，y=-16-8+3=-21，
∴M点坐标为（-4，-5）或（4，-21）．
综上所述，M点坐标为（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．

点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-

）²+

4ac-b2

，抛物线的对称轴为x=-

，当a＞0，y_最小值=

4ac-b2

；当a＜0，y_最大值=

4ac-b2

；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质要熟练运用．