题目内容

在锐角△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1B与∠CC1A1的度数；
（2）如图2，若∠BAC=75°，BC=6，连接AA1，CC1．在旋转过程中，旋转角α（0°＜α＜360°）为多少度数时AA1⊥BC1，并求出此时△CBC1的面积；
（3）如图3，若AB=5，BC=6，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最小值．
考点：旋转的性质
专题：
分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；
（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；
（3）由当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，即可求得线段EP1长度的最小值．
解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°，
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，
∴
BA
BC
=
BA1
BC1
，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，
∴∠ABA1=∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴
S△ABA1
S△CBC1
=（
BA
BC
）2
∵若∠BAC=75°，BC=6，
∴AB=6
3
-6，
则S△ABA1=
1
2
×6×（3
3
-3）=9
3
-9，
∴S△CBC1=（4-2
3
）×（9
3
-9）=54
3
-90；
（3）如图1，

过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=3
2
，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=3
2
-
5
2
．
点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
练习册系列答案
相关题目
若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-b）2的值为（　　）
A、10B、11C、9D、12
如果把分式
5ab
a-2b
中的a、b都扩大5倍，那么分式的值一定（　　）
A、扩大5倍B、扩大25倍
C、不变D、缩小5倍
如图，有长为30m的篱笆，一面得用墙（墙的最大可用长度为20m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．
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（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）将（1）中表示矩形ABCD的面积的代数式通过配方，问：当AB等于多少时，能够使矩形ABCD花圃面积最大，最大的面积为多少？
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（1）画出平移后的△A′B′C′（不写画法）．并直接写出A′，B′，C′的坐标：
点A′
 
，B′
 
C′
 
．
（2）若三角形内部一点P的坐标为（a，b），则P的对应点P′的坐标是
 
．
（3）△ABC的面积
 
．
解方程组或不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：
（1）
3x+2y=16
x-3y=-2
；         
（2）
x+y=7
y+z=8
z+x=9
；               
（3）
5x-1＞2x-4
1
2
x≤
x+2
4
．
如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．
已知关于x的二次方程x2-ax+a2-4=0：
（1）有两正根；（2）两根异号；（3）只有一个正实数根；
分别求a的值．
解方程：5x=16-3x．

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