Question

1．观察下列各个等式：
1³-0³=3•1²-3•1+1
2³-1³=3•2²-3•2+1
3³-2³=3•3²-3•3+1
4³-3³=3•4²-3•4+1
（1）你能从中推导出计算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式吗？请写出推导过程；
（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，…，A_n-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B₁，B₂，B₃，B₄，B₅，B₆，…、B_n-1，设△OBA₁，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A_n-1B_n-1A的面积依次为S₁，S₂，S₃，S₄，、…、S_n．
①当n=2012时，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₂的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据给定的等式，找出规律“n³-（n-1）³=3n²-3n+1”，将n个等式的左右两边分别相加，通过合并同类项、分解因式即可得出结论；
（2）由二次函数的解析式找出点A、点B的坐标，再根据线段OA的n等分的特点找出各A_k的横坐标、B_k的纵坐标（k为小于n的正整数），结合三角形的面积公式找出S_n的通式，将其相加整理即可得出“S₁+S₂+…+S_n=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$”，利用该等式即可解决①②两问．

解答 解：（1）观察，发现规律：1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，
∴n³-（n-1）³=3n²-3n+1．
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=$\frac{{n}^{3}+3（1+2+3+…+n）-n}{3}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
（2）∵抛物线y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（3，0）．
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为$\frac{3}{n}、\frac{6}{n}、\frac{9}{n}、…、\frac{3（n-1）}{n}$，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为$-{（\frac{3}{n}）^2}+2（\frac{3}{n}）+3、-{（\frac{6}{n}）^2}+2（\frac{6}{n}）+3、…、-{[\frac{3（n-1）}{n}]^2}+2×\frac{3（n-1）}{n}+3$，
∴${S_1}=\frac{9}{2n}，{S_2}=\frac{{9（{n^2}+2n-3）}}{{2{n^3}}}，{S_3}=\frac{{9（{n^2}+4n-12）}}{{2{n^3}}}，…，{S_n}=\frac{{9[{n^2}+2（{n^2}-n）-3{{（n-1）}^2}]}}{{2{n^3}}}$，
∴${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9\{{n^3}+2n（1+2+3+…+n-1）-3[{1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{{（n-1）}^2}]\}}}{{2{n^3}}}$=$\frac{9[{n}^{3}+2n×\frac{n（n+1）}{2}-3×\frac{n（n-1）（2n-1）}{6}]}{2{n}^{3}}$=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$．
①当n=2012时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₂=$\frac{72884691}{16192576}$；
②∵${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9（2{n^2}+n-1）}}{{4{n^2}}}=\frac{9}{2}+\frac{9}{4n}-\frac{9}{{4{n^2}}}$
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于$\frac{9}{2}$，即所有三角形的面积和等于$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了规律型中的数的变化、三角形的面积公式以及分式的化简求值，解题的关键是：（1）找出规律“n³-（n-1）³=3n²-3n+1”；（2）根据数据的变化找出“S₁+S₂+…+S_n=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数据的变化找出数据的变化规律是关键．