Question

13．在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，在边AB的延长线上有一点P，射线AP从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．当AP旋转1秒时，此时光线AP交BC于点M，BM的长为（20$\sqrt{3}$-20）cm，光线AP从AB处旋转开始计时，若要转2018秒，射线AP与BC边的交点与点B之间的距离是（20$\sqrt{3}$-10）cm．

Answer 1

分析 过A点作AD⊥BC，垂足为D，设AB=2tcm，在Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=t，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$t，在Rt△AMD中，∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，即MD=AD=t，由BM=BD-MD列出方程解得t=20，从而求出AB、BD、AD的长，再设光线AP旋转2018秒后光线与BC的交点为Q，由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒，而2018=126×16+2，即AP旋转2018秒与旋转2秒时和BC的交点是同一个点Q，得出∠BAQ=30°，求出DQ、CQ的长，即可得出结果．

解答 解：过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
设AB=2tcm，
在Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=t，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$t，
在Rt△AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
∴MD=AD=t，
∵BM=BD-MD．即$\sqrt{3}$t-t=20$\sqrt{3}$-20．
解得t=20，
∴AB=2×20=40cm，BD=$\frac{1}{2}$BC=20$\sqrt{3}$cm，AD=20cm，
设光线AP旋转2018秒后光线与BC的交点为Q，
由题意可知，120÷15=8，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒，
而2018=126×16+2，即AP旋转2018秒与旋转2秒时和BC的交点是同一个点Q，
∴∠BAQ=30°，则∠QAD=30°，
∴在Rt△ADQ中，DQ=$\frac{1}{2}$AD=10cm，
∴CQ=CD+DQ=BD+DQ=20$\sqrt{3}$+10（cm），
BQ=BC-CQ=2BD-CQ=2×20$\sqrt{3}$-20$\sqrt{3}$-10=20$\sqrt{3}$-10（cm），
∴光线AP旋转2018秒后，与BC的交点与点B之间的距离为20$\sqrt{3}$-10（cm）；
故答案为：（20$\sqrt{3}$-10）cm．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握旋转的性质与直角三角形的性质时解决问题的关键．