Question

5．如图，点E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE=$\frac{1}{2}$ED，BA、CE的延长线交于点F，BE与AC交于点O，则下列结论：①相似三角形有2对，②AB=2AF，③8S_△AOE=S_△CED，④S_{四边形ABCE}=2S_△CED中正确的有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 4个
• D． 1个

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得出①错误；利用平行线分线段成比例定理得出比例式，进而得出②正确；利用三角形面积关系以及相似三角形的性质得出③正确；由AE=$\frac{1}{2}$ED，AD∥BC，AD=BC，得出△ABC的面积=△ADC的面积，2△ACE的面积=△CED的面积，得出④正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴△AEF∽△BCF，△AOE∽△COB，△AEF∽△DEC，①错误；
∵AE=$\frac{1}{2}$ED，
∴AE=$\frac{1}{3}$BC，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴AB=2AF；②正确；
∵AE=$\frac{1}{2}$ED，
∴S_△AEC：S_△CDE=1：2，
∵AE∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∵$\frac{AE}{BC}=\frac{AO}{CO}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△EOC}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△AEC}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△CED=8S_△AOE；③正确；
∵AE=$\frac{1}{2}$ED，AD∥BC，AD=BC，
∴△ABC的面积=△ADC的面积，2△ACE的面积=△CED的面积，
∴S_{四边形ABCE}=2S_△CED，④正确；
故选：A．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练利用三角形边的关系得出面积关系是解题关键．