Question

7．如图，C为圆周上一点，BD是☉O的切线，B为切点．

（1）在图（1）中，AB是☉O的直径，∠BAC=30°，则∠DBC的度数为30°．
（2）在图（2）中，∠BA₁C=40°，求∠DBC的度数．
（3）在图（3）中，∠BA₁C=α，求∠DBC的大小．
（4）通过（1）、（2）、（3）的探究，你发现的结论是弦切角等于它夹的弧所对的圆周角
（5）如图（4），AC是☉O的直径，∠ACB=60°，连接AB，过A、B两点分别作☉O的切线，两切线交于点P．若已知☉O的半径为1，则△PAB的周长为3$\sqrt{3}$．
（6）如图（5），C是⊙O的直径AB延长线上的一点，CD切⊙O于D，∠ACD的平分线分别交AD、BD于E、F，试猜想∠DEF的度数并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质和圆周角定理以及角的互余关系得出∠DBC=∠A=30°即可；
（2）连接AC，由（1）得出∠DBC=∠A，由圆周角定理得出∠A=∠A₁，即可得出∠DBC=∠BA₁C=40°；
（3）由（2）得出∠DBC=∠BA₂C=α即可；
（4）∠DBC等于$\widehat{BC}$所对的圆周角，得出弦切角定理；
（5）先在RtABC求出BC，再判断出三角形PAB是等边三角形即可求出结论；
（6）先判断出∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD，再利用切线得出∠COD+∠ACD=90°，最后用三角形的外角的性质即可得出结论；

解答 解：（1）
∵BD是⊙0的切线，
∴∠ABO=90°，
即∠ABC+∠DBC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠A=30°；
故答案为：30°，
（2）连接BO交⊙O于A，连接AC，如图所示：

由（1）得：∠DBC=∠A，
又∵∠A=∠A₁，
∴∠DBC=∠BA₁C=40°；
（3）由（2）得：∠DBC=∠BA₂C=α；
（4）∠DBC等于$\widehat{BC}$所对的圆周角；
弦切角等于它夹的弧所对的圆周角，
故答案为：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角；
（5）连接如图OB，

在Rt△ABC中，AC=2OA=2，∠ACB=60°，
∴AB=$\sqrt{3}$，∠AOB=120°
∵PA，PB分别与⊙O相切，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB
∴∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴PA=PB=AB=$\sqrt{3}$，
∴△PAB的周长为3$\sqrt{3}$，
故答案为3$\sqrt{3}$；
（6）如图5，

连接OD，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠ACD+∠COD=90°，
∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD
∴∠DEF=∠DAC+∠ACE=$\frac{1}{2}$∠COD+$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠COD+∠ACD）=45°．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，三角形的内角和定理，圆周角的性质，切线的性质，三角形的外角的性质，解本题的关键是弦切角等于它夹的弧所对的圆周角的得出．