Question

19．如图，二次函数的图象与x轴相交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）D点坐标（-2，3）；
（2）求二次函数的解析式；
（3）若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，直接写出平移后的解析式；
（4）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点C、D是二次函数图象上的一对对称点，可得出D点的坐标；
（2）设该抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），然后将点C的坐标代入来求a的值；
（3）利用平移的特点直接写出抛物线解析式；
（4）在坐标系中利用x取相同值，比较出对应值的大小，从而确定，两函数的大小关系．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是x=-1，而C、D关于直线x=-1对称，
∴D（-2，3）；
故答案为：-2，3．
（2）设该抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
把C（0，3）代入，得
3=a（0+3）（0-1），
解得 a=-1，
所以该抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3，
即y=-x²-2x+3；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∵把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴平移后抛物线解析式为y=-（x+3）²+1=-x²-6x-8，
（4）根据图象知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是：-2＜x＜1

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，以及待定系数法求二次函数解析式和利用自变量的取值范围确定函数值大小关系，题目难度不大，非常典型．