Question

14．设x₁、x₂是方程2x²-9x+6=0的两个根，求下列各式的值：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；
（2）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$；
（3）（x₁-3）（x₂-3）；
（4）x₁-x₂．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得出x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，x₁•x₂=3，
（1）根据完全平方公式进行变形，最后整体代入求出即可；
（2）根据完全平方公式进行变形，最后整体代入求出即可；
（3）根据多项式乘以多项式方程进行计算，最后整体代入求出即可；
（4）根据完全平方公式进行变形，最后整体代入求出即可．

解答 解：∵x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，x₁•x₂=3，
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{\frac{9}{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{9}{2}$）²-2×3=$\frac{57}{4}$；
（3）（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=3-3×$\frac{9}{2}$+9=-$\frac{3}{2}$；
（4）∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂═（$\frac{9}{2}$）²-4×3=$\frac{33}{4}$，
∴x₁-x₂=±$\frac{\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．