Question

已知如图，以AB为直径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，其中圆心为点M，A点坐标是（-1，0），C点坐标是（0，2）．请问在直线BC上是否存在一点P，使得以P、O、B三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连接CM，⊙M的半径为r，则CM=r，OM=r-1，在Rt△OCM根据勾股定理得2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，则AB=2r=5，可得到B点坐标为（4，0），接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2，然后分类讨论：当PO=PB时，作BO的垂直平分线交直线BC于P，易得P点的横坐标为2，把x=2代入y=-

1

2

x+2得y=1，由此得到P点坐标为（2，1）；当BP=BO=4时，设P点坐标为（t，-

1

2

t+2），利用两点间的距离公式得（t-4）²+（-

1

2

t+2）²=4²，解得t₁=

20+8 5

5

，t₂=

20-8 5

5

，
则此时P点坐标为（

20+8 5

5

，-

4 5

5

）或（

20-8 5

5

，

4 5

5

）；当OP=OB=4时，设P点坐标为（m，-

1

2

m+2），利用两点间的距离公式得m²+（-

1

2

m+2）²=4²，
解得m₁=-

12

5

，m₂=4，则此时P点坐标为（-

12

5

，

16

5

）．

解答：解：存在．
连接CM，⊙M的半径为r，则CM=r，
∵A点坐标是（-1，0），C点坐标是（0，2），
∴OA=1，OC=2，
在Rt△OCM中，OM=r-1，
∵OC²+OM²=MC²，
∴2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，
∴AB=2r=5，
∴OB=4，
∴B点坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0）、C（0，2）代入得

4k+b=0 b=2

，解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2，
当PO=PB时，作BO的垂直平分线交直线BC于P，
∵OB=4，
∴P点的横坐标为2，
把x=2代入y=-

1

2

x+2得y=-1+2=1，
∴此时P点坐标为（2，1）；
当BP=BO=4时，设P点坐标为（t，-

1

2

t+2），
∵PB=4，B（4，0）
∴（t-4）²+（-

1

2

t+2）²=4²，
整理得5t²-40t+16=0，解得t₁=

20+8 5

5

，t₂=

20-8 5

5

，
∴此时P点坐标为（

20+8 5

5

，-

4 5

5

）或（

20-8 5

5

，

4 5

5

）；
当OP=OB=4时，设P点坐标为（m，-

1

2

m+2），
∵OP=4，O（0，0）
∴m²+（-

1

2

m+2）²=4²，
整理得5m²-48m-48=0，解得m₁=-

12

5

，m₂=4，
∴此时P点坐标为（-

12

5

，

16

5

），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，1）、（

20+8 5

5

，-

4 5

5

）、（

20-8 5

5

，

4 5

5

）、（-

12

5

，

16

5

）．

点评：本题考查了圆的综合题：理解与圆有关的性质和等腰三角形的判定；会运用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长；会解一元二次方程；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．