Question

已知关于x的一元二次方程x²-ax+a+5=0．
（1）无论a取任何值，该方程的根不可能为x=x₀，写出x₀的值，并证明．
（2）若a为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数a的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,奇数与偶数,约数与倍数

专题：

分析：（1）当x=1时，无论a取任何值，等式的左边的值都是定值6，显然等式不成立．
（2）由条件可知根的判别式是完全平方数，故可设△=（a-2）²-24=t²（t为正整数），即（a-2+t）（a-2-t）=24．由a和t都是正整数可得a-2+t和a-2-t同奇同偶，都是非负整数，且a-2+t＞a-2-t，故a-2+t和a-2-t分别为12、2或6、4，然后解方程组就可求出所有正整数a的值．

解答：（1）答：x₀=1．
证明：当x=1时，左边=1-a+a+5=6，右边=0，
∴左边≠右边．
∴该方程的根不可能为x=1．

（2）解：△=（-a）²-4×1×（a+5）=a²-4a-20=（a-2）²-24．
∵方程有正整数解，
∴可设△=（a-2）²-24=t²（t为正整数），
∴（a-2）²-t²=24．
∴（a-2+t）（a-2-t）=24．
∵a和t都是正整数，
∴a-2+t和a-2-t同奇同偶，都是非负整数，且a-2+t＞a-2-t，
∴

a-2+t=12 a-2-t=2

或

a-2+t=6 a-2-t=4

．
解得：

a=9 t=5

或

a=7 t=1

．
∴满足条件的正整数a的值有9或7．

点评：本题是一道竞赛题，涉及到奇数与偶数、约数、整系数的一元二次方程有正整数解、解二元一次方程组等知识，有一定的难度．需要说明的是：若整系数的一元二次方程有正整数解，则根的判别式必然是整数的平方；若m和n是整数，则m+n与m-n同奇同偶．