题目内容
如图1，抛物线y=nx2-11nx+24n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）线段BC的长为 ；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形，求n；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N．试探究：①当MN过AC的中点时，判断四边形AMCN的形状；②当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
（1）线段BC的长为
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形，求n；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N．试探究：①当MN过AC的中点时，判断四边形AMCN的形状；②当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出n的值；
（3）①先求出M的坐标，判断是否在直线OA上，然后求得直线MC与直线AN的解析式判断它们的斜率是否相等，即可判断四边形的形状；②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可．
（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出n的值；
（3）①先求出M的坐标，判断是否在直线OA上，然后求得直线MC与直线AN的解析式判断它们的斜率是否相等，即可判断四边形的形状；②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可．
解答：
解：（1）∵抛物线y=nx2-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx2-11nx+24n，
解得：x1=3，x2=8，
∴OB=3，OC=8，
∴BC=OC-OB=8-3=5；
（2）如图2，作AE⊥OC，垂足为点E
∵△OAC是等腰三角形，
∴OE=EC=
×8=4，
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴
=
，
∴AE2=BE•CE=1×4，
∴AE=2，
∴点A的坐标为 （4，2），
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=nx2-11nx+24n，得n=-
，
（3）如图2，①∵OB=3，OC=8，
∴B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0），
∵n=-
，
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x-12，
∵四边形AODC是菱形，MN⊥x轴，且过AC的中点，点A的坐标为 （4，2），
∴N点的坐标为（6，-1），
把x=6代入y=-
x2+
x-12，得：y=3，
∴M（6，3），
∵直线OA的解析式为：y=
x，
∴M点在直线OA上，
∴AM∥NC，
∵点A的坐标为 （4，2），N点的坐标为（6，-1），
∴直线AN的解析式为：y=-
x+8，
∵C（8，0），M（6，3），
∴直线MC的解析式为：y=-
x+12，
∴AN∥MC，
∴四边形AMCN是平行四边形；
②如图2，∵点M的横坐标为m，且点M在抛物线y=-
x2+
x-12上，
∴点M的坐标为 （m，-
m2+
m-12），
∵点A的坐标为 （4，2），
∴点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=
x-4，
∴点N的坐标为 （m，
m-4），
∴MN=（-
m2+
m-12）-（
m-4）=-
m2+5m-8，
∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=
MN•CE=
（-
m2+5m-8）×4，
=-（m-5）2+9，
∴当m=5时，四边形AMCN的面积的最大值=9．
解：（1）∵抛物线y=nx2-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx2-11nx+24n，
解得：x1=3，x2=8，
∴OB=3，OC=8，
∴BC=OC-OB=8-3=5；
（2）如图2，作AE⊥OC，垂足为点E
∵△OAC是等腰三角形，
∴OE=EC=
| 1 |
| 2 |
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴
| AE |
| BE |
| CE |
| AE |
∴AE2=BE•CE=1×4，
∴AE=2，
∴点A的坐标为 （4，2），
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=nx2-11nx+24n，得n=-
| 1 |
| 2 |
（3）如图2，①∵OB=3，OC=8，
∴B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0），
∵n=-
| 1 |
| 2 |
∴抛物线的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
∵四边形AODC是菱形，MN⊥x轴，且过AC的中点，点A的坐标为 （4，2），
∴N点的坐标为（6，-1），
把x=6代入y=-
| 1 |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
∴M（6，3），
∵直线OA的解析式为：y=
| 1 |
| 2 |
∴M点在直线OA上，
∴AM∥NC，
∵点A的坐标为 （4，2），N点的坐标为（6，-1），
∴直线AN的解析式为：y=-
| 3 |
| 2 |
∵C（8，0），M（6，3），
∴直线MC的解析式为：y=-
| 3 |
| 2 |
∴AN∥MC，
∴四边形AMCN是平行四边形；
②如图2，∵点M的横坐标为m，且点M在抛物线y=-
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| 2 |
∴点M的坐标为 （m，-
| 1 |
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| 2 |
∵点A的坐标为 （4，2），
∴点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=
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∴点N的坐标为 （m，
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∴MN=（-
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| 2 |
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∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=
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| 2 |
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| 2 |
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=-（m-5）2+9，
∴当m=5时，四边形AMCN的面积的最大值=9．
点评：本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，平行四边形的判定，菱形的性质和四边形面积的求法等．
练习册系列答案
相关题目
二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴的交点个数是（ ）
| A、0个 | B、1个 | C、2个 | D、3个 |
完成下面证明，并在下面括号里，填上推理的根据．
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