Question

11．已知△ABC中，tanB=$\frac{2}{3}$，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为8或24．

Answer 1

分析 分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．

解答 解：如图1所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，
∴BD=4，
∵AD⊥BC，tanB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{8}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{8}{3}$=8；
如图2所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，
∴BD=12，
∵AD⊥BC，tanB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=$\frac{2}{3}$BD=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×8=24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．

点评 本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．