Question

20．如图，已知直线y=k₁x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象相交于A（-2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k₁k₂＜0；②m+$\frac{1}{2}$n=0；③S_△AOP=S_△BOQ；④不等式k₁x+b$＞\frac{{k}_{2}}{x}$的解集是x＜-2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是②③④．

Answer 1

分析 根据一次函数和反比例函数的性质得到k₁k₂＞0，故①错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中得到-2m=n故②正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k₁x+b得到y=-mx+m，求得P（-1，0），Q（0，-m），根据三角形的面积公式即可得到S_△AOP=S_△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k₁x+b$＞\frac{{k}_{2}}{x}$的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确．

解答 解：由图象知，k₁＜0，k₂＜0，
∴k₁k₂＞0，故①错误；
把A（-2，m）、B（1，n）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中得-2m=n，
∴m+$\frac{1}{2}$n=0，故②正确；
把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k₁x+b得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2{k}_{1}+b}\\{n={k}_{1}+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{n-m}{3}}\\{b=\frac{2n+m}{3}}\end{array}\right.$，
∵-2m=n，
∴y=-mx-m，
∵已知直线y=k₁x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴P（-1，0），Q（0，-m），
∴OP=1，OQ=m，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$m，S_△BOQ=$\frac{1}{2}$m，
∴S_△AOP=S_△BOQ；故③正确；
由图象知不等式k₁x+b$＞\frac{{k}_{2}}{x}$的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确；
故答案为：②③④．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．