Question

2．已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，请直接写出线段AB，BE，AM之间的数量关系：AB+BE=AM；
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；请探索线段AB，BE，AM之间的数量关系，并证明；
（3）若BE=$\sqrt{6}$，∠AFM=15°，则AM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$或$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（2）同（1）首先证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（3）利用分类讨论的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根据全等三角形的性质易得∠AEB，利用锐角三角函数易得AB，利用（1）（2）的结论，易得AM．

解答 （1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，
∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，
∴AM=BH=BE+EH
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB=∠EFH，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF=90°}\\{∠AEB=∠EFH}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∵AM=BH=BE+EH，
∴AM=BE+AB，
即AB+BE=AM；
故答案为：AB+BE=AM；

（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH=EB+AM；
如图③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB；

（3）解：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFM=60°，
∴∠EFH=120°，
在△EFH中，
∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，
∴此情况不存在；
如图②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=60°，
∵△ABE≌△EHF，
∴∠EAB=∠EFH=60°，
∵BE=$\sqrt{6}$，
∴AB=BE•tan60°=$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$，
∵AB=EB+AM，
∴AM=AB-EB=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$；
如图③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=45°-15°=30°，
∴∠AEB=30°，
∵BE=$\sqrt{6}$，
∴AB=BE•tan30°=$\sqrt{2}$，
∵BE=AM+AB，
AM=BE-AB=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$或$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质及判定定理，数形结合，分类讨论，利用前面问题的结论是解答此题的关键．