Question

6．如图，直线AB解析式为y=2x+4，C（0，-4），AB交x轴于A，A为抛物线顶点，交y轴于C，
（1）求抛物线解析式？
（2）将抛物线沿AB平移，此时顶点即为E，如顶点始终在AB上，平移后抛物线交y轴于F，求当△BEF于△BAO相似时，求E点坐标．
（3）记平移后抛物线与直线AB另一交点为G，则S_△BFG与S_△ACD是否存在8倍关系？若有，直接写出F点坐标．

Answer 1

分析 （1）易求得A、B的坐标，设出顶点式，代入C的坐标根据待定系数法即可求得解析式；
（2）由于顶点在直线AB上，根据题意设出解析式为y=-（x+2-m）²+2m，即可得出E（m-2，2m），F（0，-m²+6m-4），根据三角形相似的性质得出tan∠BFE=$\frac{2-m}{2m-（-{m}^{2}+6m-4）}$=2，解方程即可求得m的值，从而求得E的坐标；
（3）求得D的坐标，根据（2）可知G（-4+m，-4+2m），根据题意S_△BFG=1或64，S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•|x_G|=$\frac{1}{2}$|4-（-m²+6m-4）|•|-4+m|，根据（2）中可知2m²-7m+6=0，则m²=3.5m-3 代入得S_△BFG=$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|，然后分两种情况列出关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得F的坐标．

解答 解：（1）由直线AB解析式为y=2x+4可知A（-2，0），B（0，4），
∵A为抛物线顶点，
∴设顶点式y=a（x+2）²，
代入C（0，-4）得-4=4a，
解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+2）²=-x²-4x-4；
（2）由于顶点在直线AB上，故可假设向右平移m个单位，再向上平移2m个单位、
即解析式为y=-（x+2-m）²+2m，
∴E（m-2，2m），F（0，-m²+6m-4），
∵△BAO∽△BFE，
∴tan∠BFE=tan∠BAO=2，
∵tan∠BFE=$\frac{2-m}{2m-（-{m}^{2}+6m-4）}$=2，
化简得2m²-7m+6=0，
解得m₁=2（舍去，与B点重合），m₂=$\frac{3}{2}$
∴E（-$\frac{1}{2}$，3）；
（3）令2x+4=-x²-4x-4，解得D（-4，-4），
由于G点是由D点平移得来，在第二问的条件下，易得G（-4+m，-4+2m）
∴S_△ACD=8，
∴S_△BFG=1或64，
∵S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•|x_G|=$\frac{1}{2}$|4-（-m²+6m-4）|•|-4+m|，
由第二问可知，2m²-7m+6=0，则m²=3.5m-3 代入得S_△BFG=$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|，
①当$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|=1时，
化简得m²-6m+8=±$\frac{4}{5}$，
∴-m²+6m=$\frac{44}{5}$或-m²+6m=$\frac{36}{5}$，
∵F（0，-m²+6m-4），
∴F₁（0，$\frac{24}{5}$），F₂（0，$\frac{16}{5}$）；
②当$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|=64时，
化简得m²-6m+8=±$\frac{256}{5}$，
∴-m²+6m=-$\frac{216}{5}$或-m²+6m=$\frac{296}{5}$（舍去，无解），
∵F（0，-m²+6m-4），
∴F₃（0，-$\frac{236}{5}$），
综上，F点坐标为（0，$\frac{24}{5}$）或（0，$\frac{16}{5}$）或（0，-$\frac{236}{5}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，三角形相似的性质以及三角形的面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．