Question

20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠BAC的平分线AG分别交线段DE、BC于点F、G．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）联结DG，若∠AGD=∠B，AB=12，AD=4，AE=6，求AG与AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠C，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠CAG，证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 （1）证明：∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠BAC=∠EAD，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠C，
∵AG是∠BAC的平分线，
∴∠DAF=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵∠AGD=∠B，∠DAF=∠GAB，
∴△ADG∽△AGB，
∴$\frac{AD}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，
∴AG=$\sqrt{AD•AB}$=4$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AC=$\frac{AD•AB}{AE}$=8，
∵△ADF∽△ACG，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AG}$，
∴AF=$\frac{AD•AG}{AC}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．