Question

18．如图，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．求证：
（1）∠OBA=∠OCD；
（2）AB=CD．

Answer 1

分析 （1）过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD；
（2）根据全等三角形的性质得到BM=CN，根据垂径定理得到AB=2BM，CD=2CN，依此即可求解．

解答 证明：（1）∠OBA=∠OCD，理由如下：
过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON\\;}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），
∴∠OBA=∠OCD．
（2）∵Rt△OBM≌Rt△OCN，
∴BM=CN，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AB=2BM，CD=2CN，
∴AB=CD．

点评 本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．