Question

7．四边形ABCD中，AB=BC，BC∥AD，∠ABC=90°，点E为DC上一点，且AE=AB，AM平分∠DAE交BE的延长线于M，连接CM．
（1）求证：∠BAE=2∠MBC；
（2）求证：MB平分∠AMC；
（3）若AB=4，∠CBM=30°，则EM=2$\sqrt{3}$-2（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）过点A作AF⊥MB于点F，交BC于点G，因为∠ABC=90°，根据同角的余角相等及等腰三角形“三线合一”的性质不难得到∠BAE=2∠MBC，
（2）由AM平分∠DAF及AF平分∠EAB及∠DAB=90°，得∠MAF=45°，从而得到∠AMF=45°，进一步证得△AFM为等腰三角形，延长AG到H，使AH=MB，通过证△ABH≌△BCM，所以FB=FH，∠FHB=∠FBH=45°，因此∠CMB=∠AMB=45°，结论得证，
（3）若∠MBC=30°，则∠BAF=30°，在Rt△BFA中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，种用勾股定理求出AF的长及MF的长，所以ME=MF-EF可求解．

解答 （1）证明：过点A作AF⊥MB于点F，交BC于点G，
∵AE=AB，
∴∠EAG=∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAE，
∵∠ABC=90°，∠ABF+∠GFB=90°，
又∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠FBG=∠FAB即：∠MBC=∠GAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，
∴∠BAE=2∠MBC．
（2延长AG到H使AH=MB，连结BH，
∵BC=AB，∠CBM=∠HAB，
∴△MCB≌△HBA
∴∠BMC=∠AHB
∵AD平分∠DAE，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAE，
又∠2=$\frac{1}{2}$∠EAB，
∴∠MAF=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAE+∠EAB）=$\frac{1}{2}$∠DAB$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AMB=90°-∠MAF=90°-45°=45°，
∴∠AMB=∠MAB，
∴FM=FA，
∴MB-FM=AH-AF，即：FB=FH，
∴∠FHB=∠FBH=45°，
∴∠AMB=∠FBH
∴∠CMB=∠AMB
∴MB平分∠AMC，
（3）如右上题图，若∠MBC=30°，则∠FAB=30°，
在Rt△ABF中，EF=FB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-F{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵MF=AF=2$\sqrt{3}$，
∴ME=MF-EF=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质及辅助线的正确运用是解题的关键．