Question

20．如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，
（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=30°．

Answer 1

分析 （1）作点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，此时△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，周长最小．
（2）连接OC，OD，PE，PF，根据OC=OD=CD=4，得出△COD是等边三角形，即可求得∠AOB的度数．

解答 解：（1）如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
（2）连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2∠AOB．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故答案为30°．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．