Question

1．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}-x-y+1/2=0}\\{y=k（2x-1）}\end{array}$ （x、y为未知数）有两个不同的实数解$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y={y}_{1}}\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{2}}\\{y={y}_{2}}\end{array}\right.$．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果y₁y₂+$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=3，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）首先把y=k（2x-1）代入kx²-x-y+$\frac{1}{2}$=0，可得kx²-（2k+1）x+k+$\frac{1}{2}$=0；然后根据方程组$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}-x-y+\frac{1}{2}=0}\\{y=k（2x-1）}\end{array}\right.$（x、y为未知数）有两个不同的实数解，可得k≠0，且△＞0，据此求出k的取值范围是多少即可；
（2）首先根据韦达定理，可得${x}_{1}{+x}_{2}=\frac{2k+1}{k}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{k+\frac{1}{2}}{k}$，然后根据y₁y₂+$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=3，可得k²+2=3，据此求出k的值是多少即可．

解答 解：（1）把y=k（2x-1）代入kx²-x-y+$\frac{1}{2}$=0，
可得kx²-（2k+1）x+k+$\frac{1}{2}$=0，
∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}-x-y+\frac{1}{2}=0}\\{y=k（2x-1）}\end{array}\right.$（x、y为未知数）有两个不同的实数解，
∴k≠0，且△＞0，
即k≠0，且[-（2k+1）]²-4k（k+$\frac{1}{2}$）＞0，
∴k≠0，且2k+1＞0，
解得k$＞-\frac{1}{2}$，且k≠0，
即实数k的取值范围是k$＞-\frac{1}{2}$，且k≠0．
（2）${x}_{1}{+x}_{2}=\frac{2k+1}{k}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{k+\frac{1}{2}}{k}$，
∵y=k（2x-1），
∴y₁y₂+$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$
=k²（2x₁-1）（2x₂-1）$+\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=k²[$\frac{4（k+\frac{1}{2}）}{k}-\frac{2（2k+1）}{k}$+1]+$\frac{2k+1}{k+\frac{1}{2}}$=3
整理得：k²+2=3，
解得：k=±1，
∵k$＞-\frac{1}{2}$，且k≠0．
∴k=1．

点评 （1）此题主要考查了高次方程的求解，解答此题的关键是要明确高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．
（2）此题还考查了根的判别式的应用，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．