阅读材料:我们知道.抛物线y=ax2+bx+c的表达式都可以化成y=a(x-h)2+k的形式.其中(h.k)为抛物线的顶点.已知抛物线y=a(x-h)2+k与y轴交于点A.它的顶点为B.点A.B关于原点O的对称点分别是点C.D.若点A.B.C.D中任何三个都不在同一直线上.则定义四边形ABCD为抛物线y=a(x-h)2+k的友好四边形.直线AB为抛物线y=a(x-h)2+k的友好� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．阅读材料：我们知道，抛物线y=ax²+bx+c的表达式都可以化成y=a（x-h）²+k的形式，其中（h，k）为抛物线的顶点，已知抛物线y=a（x-h）²+k与y轴交于点A，它的顶点为B，点A，B关于原点O的对称点分别是点C，D，若点A，B，C，D中任何三个都不在同一直线上，则定义四边形ABCD为抛物线y=a（x-h）²+k的友好四边形，直线AB为抛物线y=a（x-h）²+k的友好直线．
解决问题：
（1）如图1，求抛物线y=a（x-2）²+1的友好直线AB的解析式，并直接写出该抛物线的友好四边形ABCD的面积；
（2）如图2，若抛物线y=a（x-h）²+k（h＞0）的友好直线是y=x-3，友好四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；
拓展延伸：
（3）如图3，若抛物线y=a（x-h）²+k的友好直线是y=-2x+m（m＞0），探究下列问题：
①若抛物线y=a（x-h）²+k的友好四边形ABCD是菱形，求此时抛物线的顶点坐标，用含m的代数式表示；
②若抛物线若y=a（x-h）²+k的友好四边形ABCD是矩形，求此时抛物线的顶点坐标，用含m的代数式表示．

分析（1）将x=0代入y=（x-2）²+1，得到与y轴的交点A的坐标，顶点B的坐标，设抛物线y=（x-2）²+1的友好直线AB的表达式为y=kx+b，即可得出解析式，根据面积公式求得抛物线的友好四边形ABCD的面积；
（2）作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，求得直线y=x-3与y轴的交点A的坐标，得出点C的坐标，则AC=6，由友好四边形的面积为12，得
BE的长，得点B坐标，抛物线过点A，即可得出抛物线的解析式；
（3）①根据抛物线y=a（x-h）²+k的友好四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，得点B的坐标为（h，0），根据点B在直线y=-2x+m上，把y=0代入得x=$\frac{m}{2}$，从而得出抛物线顶点B的坐标；
②根据抛物线y=a（x-h）²+k的友好四边形ABCD是矩形，直接得出抛物线顶点B的坐标．

解答解：（1）将x=0代入y=（x-2）²+1，得y=5．
则抛物线y=（x-2）²+1与y轴的交点A的坐标为（0，5）．
抛物线y=（x-2）²+1的顶点B的坐标为（2，1）．
设抛物线y=（x-2）²+1的友好直线AB的表达式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{k=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=（x-2）²+1的友好直线AB的表达式为y=-2x+5．
抛物线y=（x-2）²+1的友好四边形的面积为20．
（2）如图1，抛物线y=a（x-h）²+k的顶点为B（h，k），
作BE⊥AC于点E，
由题意得四边形ABCD是平行四边形，
直线y=x-3与y轴的交点A的坐标为（0，-3），
所以，点C的坐标为（0，3），可得：AC=6．
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴S_△ABC=6即S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=6，
∴BE=2，
∵h＞0，即顶点B在y轴的右侧，
∴h=2．
∵点b在直线y=x-3上，
∴顶点B的坐标为（2，-1），
又抛物线经过点A（0，-3），
∴a=-$\frac{1}{2}$，∴抛物线表达式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²-1．
（3）①当抛物线y=a（x-h）²+k的友好四边形ABCD是菱形时，如图2．
AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵AC在y轴上，AC⊥BD，
∴此时BD在x轴上，∴点B的坐标为（h，0）．
∵点B在直线y=-2x+m上，
∴把y=0代入y=-2x+m，得x=$\frac{m}{2}$．
∴抛物线顶点B的坐标为（$\frac{m}{2}$，0）．
②当抛物线y=a（x-h）²+k的友好四边形ABCD是矩形时，如图3．
∴抛物线顶点B的坐标为B（$\frac{4}{5}$m，-$\frac{3}{5}$m）．