Question

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）
（2）通过观察、测量、猜想：=   ，并结合图②证明你的猜想；（5分）
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）（5分）

Answer 1

（1）证明见解析（2），证明见解析（3）

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。
（2）。证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90⁰， ∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =45⁰， ∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=90⁰—∠BMN， ∠NPE=90⁰—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90⁰。
又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF="MF" ，即BF=BM。
∴BF=PE， 即。
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90⁰。
由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=90⁰，∴△BMN∽△PEN。
∴。
在Rt△BNP中，， ∴，即。
∴。
（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。
（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的结论。
（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即可求得。