Question

已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是

BC

一点，E是DB延长线上一点，AE=AD．
（1）如图1，求证：BE=CD；
（2）如图2，若AB=2，∠BAC=90°，

BD

=

1

2

CD

，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,扇形面积的计算

专题：证明题

分析：（1）通过证明△ABE≌△ACD得到BE=CD；
（2）连结OA、CD，作BH⊥AE于H，如图，先求出∠E=45°，∠EAD=90°，∠EAB=60°，在Rt△HAB中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AH=

1

2

AB=1，BH=

3

AH=

3

，在Rt△BHE中得到EH=BH=

3

，
则可计算出S_△ABE=

3 +3

2

，接着计算出S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=

1

2

π-1，然后用△ABE的面积减去弓形AB的面积即可得到阴影部分的面积．

解答：（1）证明：∵AE=AD，
∴∠E=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠ADE=∠ADC，
∴∠E=∠ADC，
∵∠ABE为圆内接四边形ABDC的外角，
∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，

∠ABE=∠ACD ∠E=ADC AE=AD

，
△ABE≌△ACD，
∴BE=CD；
（2）连结OA、CD，作BH⊥AE于H，如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC为直径，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BDC=90°，
∵

BD

=

1

2

CD

，
∴∠DBC=2∠BCD，
∴∠DBC=60°，∠BCD=30°，
∴∠BAD=∠BCD=30°，
∵∠ADE=∠ACB=45°，
∵AE=AD，
∴∠E=45°，∠EAD=90°，
∴∠EAB=60°，
在Rt△HAB中，∵∠HAD=60°，
∴AH=

1

2

AB=1，BH=

3

AH=

3

，
在Rt△BHE中，∵∠E=45°，
∴EH=BH=

3

，
∴S_△ABE=

1

2

×

3

×（1+

3

）=

3 +3

2

，
∵∠AOB=2∠ACB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=

2

2

AB=

2

，
∵S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=

90•π•( 2 )2

360

-

1

2

×

2

×

2

=

1

2

π-1，
∴阴影部分的面积=

3 +3

2

-（

1

2

π-1）=

3 -π+5

2

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式．