Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：△OAE≌△OCF；
（2）求证：FC=OF；
（3）若BC=2

3

，求AC的长．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）欲证明△OAE≌△OCF，只要证明∠BAC=∠FCO，然后运用AAS公理即可解决问题．
（2）欲证明OF=CF，只要证明∠FOC=∠FCO；而∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠FOC，故只需证明∠EAC=∠AOE即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；首先证明AO=BO，EF⊥BO；进而证明2∠BAC+∠BAC=90°，得到∠BAC=30°，运用直角三角形的性质即可解决问题．

解答：（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO ∠AOE=∠FOC AE=FC

，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
（2）证明：∵∠BEF=2∠BAC，
且∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴∠BAC=∠AOE；
而∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠FOC，
∴∠FCO=∠FOC，
∴FC=OF．
（2）解：如图，连接OB，
∵△OAE≌△OCF，
∴AO=CO，OE=OF；
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴∠BEF+∠ABO=90°，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴AO=BO=

1

2

AC
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=3，
∴AC=2BC=6．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大；（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．