Question

如图①，△ABC中，直线ME垂直平分AB，分别交AB，BC于点E，M，直线NF垂直平分AC，分别交AC、BC于点F、N．
（1）求证：△AMN的周长等于BC的长；
（2）结合（1）的启发请解决下列问题：
①如图②，在△AOB内部有一定点P，试在OA、OB上确定两点C，D，使△PCD的周长最短；
②若∠AOB=30°，OP=10，求①中所画出△PCD的周长．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）由直线PM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长，由BC的长即可得到三角形AMN的周长．
（2）①作P关于OA，OB的对称点P′，P″．连接P′P″交OA、OB于C、D，．则此时△PMN的周长最短，最短的值是P′P″的长．
②根据对称的性质可以证得△P′OP″是等边三角形，据此即可求解．

解答：（1）证明：如图①，∵直线MP为线段AB的垂直平分线（已知），
∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又∵直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），
∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），

（2）解：①如图，作P关于OA，OB的对称点P′，P″．连接P′P″交OA、OB于C、D，．则此时△PMN的周长最短，最短的值是P′P″的长．
②∵P、P′关于OA对称，
∴∠POP′=2∠AOP，OP′=OP
同理，∠POP″=2∠BOP，OP=OP″
∴∠P′OP″=∠P′OP+∠P″OP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=60°，OP′=OP″=OP=10．
∴△P′OP″是等边三角形，
∵OP=10，
∴P′P″=10，
∴△PMN周长最短值为10．

点评：此题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键．